GruzjaGruziński środkowy pomocnik, który karnym z Grecją dał Gruzji awans na Euro 2024, a z Lechem Poznań zdobył mistrzostwo Polski.
Urodził się 29 maja 1992 roku i pochodzi z Zugdidi, miasta na zachodzie Gruzji, przy granicy z Abchazją. Jako mniej więcej 17-latek chciał rzucić piłkę i iść na studia. Zmieniło się to, gdy dostał powołanie do jednej z młodzieżowych reprezentacji Gruzji.
W gruzińskiej ekstraklasie zadebiutował w sierpniu 2009 roku w miejscowej Baii Zugdidi, mając niewiele ponad 17 lat. Nieco ponad rok później selekcjoner Temuri Kecbaja powołał go na mecze eliminacji mistrzostw Europy, choć wtedy jeszcze nie zagrał. Przeszedł do Dinama Tbilisi i niedługo potem był bliski transferu do Realu Saragossa; zdążył już pożegnać się z kolegami, ale transfer upadł przez długi hiszpańskiego klubu.
Na początku 2013 roku, po sprzeczce z trenerem Dušanem Uhrinem juniorem na obozie w górach, został przesunięty do rezerw Dinama; oficjalnym powodem była nadwaga. Wiosnę grał w drugim zespole, jesienią był wypożyczony do Spartaki Cchinwali, a kolejną wiosnę znów spędził w rezerwach. Potem przeszedł do Dili Gori, z którą w 2015 roku zdobył pierwsze w historii klubu mistrzostwo Gruzji.
Kolejne lata spędził w Azerbejdżanie, w Interze Baku i Qəbələ, oraz w Kazachstanie, w Tobole Kustanaj, gdzie grał w latach 2017–2020. Ceniono go tam za inteligencję na boisku.
Do Lecha Poznań trafił zimą 2021 roku jako szybkie wzmocnienie środka pola. Mówił, że to jego pierwsza okazja do gry w europejskim klubie. Dariusz Żuraw długo trzymał go w rezerwie. Szansę dostał dopiero po przyjściu Macieja Skorży i w kwietniu 2021 roku pierwszy raz zagrał od początku, w meczu z Legią Warszawa. Pierwszego gola dla Lecha strzelił w 2021 roku z rzutu wolnego, w meczu z Lechią Gdańsk przy Bułgarskiej. Kibice szybko go polubili, a wiosną 2021 roku przedłużył kontrakt do czerwca 2023 roku.
W sezonie 2021/22, w roku stulecia klubu, był ważnym zmiennikiem w drużynie, która zdobyła mistrzostwo Polski. Skorża często wpuszczał go na kilkanaście minut, żeby zagęścić środek pola i utrzymać wynik. Kvekveskiri mówił później, że było to jego czwarte mistrzostwo w karierze, ale pierwsze poza Gruzją, i że ten tytuł wspomina z Lechem najlepiej. W sezonie 2022/23 doszedł z Lechem do ćwierćfinału Ligi Konferencji Europy.
Latem 2024 roku, po Euro, rozwiązał kontrakt z Lechem za porozumieniem stron i podpisał roczną umowę z węgierskim Nyíregyháza Spartacus. Pod koniec sierpnia 2025 roku, w wieku 33 lat, zakończył karierę i został asystentem selekcjonera reprezentacji Gruzji Willy'ego Sagnola. Już wcześniej miał licencję UEFA A.
To środkowy pomocnik, którego największym atutem było myślenie na boisku. Nie biegał szybko, ale podejmował decyzje szybciej od rywali, miał dobry przegląd pola i grał otwierające podania. Był zdyscyplinowany taktycznie, potrafił włączyć się w rozegranie i pomóc w obronie. Sam mówił, że jego mocną stroną jest gra z piłką przy nodze i budowanie ataków.
W Lechu grał często najniżej z trójki środkowych pomocników i wyprowadzał piłkę od obrońców. Dokładnymi przerzutami przenosił ciężar gry na drugą stronę boiska. Był też dobry technicznie: w meczu Gruzji ze Szwecją minął Zlatana Ibrahimovicia „ruletą”.
W reprezentacji Gruzji zadebiutował w październiku 2015 roku w meczu eliminacji Euro 2016 z Gibraltarem. Kilka dni później zagrał w Lipsku z mistrzami świata, Niemcami.
26 marca 2024 roku w Tbilisi, w finale baraży o Euro 2024 z Grecją, wszedł z ławki. Po bezbramkowym remisie strzelił decydujący rzut karny w serii jedenastek, a Gruzja wygrała 4:2 i pierwszy raz awansowała na wielki turniej. Selekcjoner Willy Sagnol mówił później, że ten karny zmienił los kraju. Na Euro 2024 w Niemczech grał krótko, wchodząc z ławki, m.in. w 1/8 finału z Hiszpanią. Dla Gruzji rozegrał ponad 60 meczów, ostatni na wyjeździe z Armenią.
